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    十国高中数学教材的若干比较研究及启示

    来源:UC论文网2018-08-23 09:46

    摘要:

      摘要:本文利用“教科书难度模型?#20445;?#36873;择中、美、日、俄等十个国家具有代表性的十套高中数学教材的交集(即文科必修内容),以知识团为基本单位,从广度、深度和习题综合难度三个维度进行教材难易程度的定量比较和...

      摘要:本文利用“教科书难度模型?#20445;?#36873;择中、美、日、俄等十个国家具有代表性的十套高中数学教材的交集(即文科必修内容),以知识团为基本单位,从广度、深度和习题综合难度三个维度进行教材难易程度的定量比较和定性诠释。研究表明,中国高中数学教材难度偏难,在十国中居第二、第三的位置。同?#20445;?#32654;、日、俄等九国高中数学教材呈现出“学材特征凸显、习题体系系统严密、注重信息?#38469;?#30340;工具价值”等编写特色与普遍趋势。


      关键词:高中;数学;教科书;难度模型;难度;


      作者简介:史宁中,东北师范大学数学与统计学院教授,博士生导师;


      2012年3月26日,中国新闻网转载?#24230;?#27665;政协报》的题为《致公党关注基础教育“减负?#20445;?#24212;降低课程难度》的报道,其“现在中小学课程内容多、难度大,是造成中小学生课业负担过重的主要原因”的观点,得到不少家长和一些学者的响应。如何?#20984;?#25551;述、理性?#27835;?#35838;程难度,既是国内迫?#34892;?#35201;解决的问题,也备受国际学界关注。


      一、研究对象与研究思路


      (一)研究对象


      作为分流教育的开始,世界许多国家的高中数学课程充分体现出其课程内容的差异性和多样性,[1]尤其是理科类的高中数学教材内容,各国之间的差异巨大,公共的交集很少。本研究遵循教育部中小学理科教材国际比较关于国别的整体要求,选择中国、韩国、日本、俄罗斯、新加坡、法国、德国、英国、美国、澳大利亚十个国家高中数学教材作为比较对象;顾及到数学知识的整体性,参照十国各自的高中数学课程标准,[2]经过慎重考虑,选择十国高中数学课程内容中交集最大的文科必修数学内容作为研究对象,这些内容在高中数学课程结构中处于基础位置。选择教材版本的原则是,该国现阶?#38382;?#29992;的主流教材,或者具有一定典型性、代表性的教材,可以是电子版教材,?#37096;?#20197;是纸质版教材。


      十套教材基本信息如下:中国的人民教育出版社2007年出版的《高中数学A版》;韩国大韩教科书出版社2009年出版的《数学》;日本启林馆出版社2008年出版的《数学A》、《数学Ⅰ》、《数学Ⅱ》;俄罗斯莫斯科教育出版社2008年、2011年出版的《代数与数学?#27835;?#21021;步》、《?#36127;巍罰?#26032;加坡华侨中学2009年出版的《数学讲议》?#29615;?#22269;弥敦·巴黎出版社(NathanParis)2004年出版的《数学2》;德国恩斯特·柯?#31243;?#20986;版社(ErnstKlettVerlag)2009年出版的《高中数学教材》;英国剑桥大学出版社(CambridgeUniversityPress)2007年出版的《高级数学1》、《高级数学2》;美国麦格希出版社(McGraw-HillCompanies,原译麦格劳-希尔出版社)2008年、2009年出版的《核心数学课程(第2版)》;剑桥大学出版社(CambridgeUniversityPress)澳大利亚分社2005年出版的《澳大利亚高中数学》。


      (二)研究思路


      首先,基于“课程难度模型?#20445;?]建立“教科书难度模型”。


      其?#21361;?#22522;于数学知识的整体性,提出“知识团”的概念,以“知识团”为基本单位进行定量研究。


      所谓知识团(group),即知识点的结合,知识点之间的组合。数学教材中的知识点可以分为概念及概念之间的关系,即命题。因此,知识点要?#35789;?#27010;念,要?#35789;?#21629;题。若干个知识点构成一个知识团,知识团之间的差异应尽量大,知识团内部知识点之间的差异应尽量小。


      本研究选择了十国文科数学内容中最基础、最核心的三个领域“集合论”、“代数”、“?#36127;巍?#20013;的五个知识团,即“集合”、“函数”(主要是函数基本概念和性质)、“立体?#36127;巍薄ⅰ?#24179;面?#36127;巍薄ⅰ?#21521;量?#36127;巍薄?/p>


      再?#21361;?#23545;五个知识团的广度、深度、习题综合难度分别进行计算,在此基础?#24076;?#23545;教材难度进行定量比较?#27835;觥?/p>


      最后,?#27835;?#20061;国教材特色,诊断所选的中国教材版本的问题所在,并有针对性地提出改进建议。


      (三)研究工具和方法


      1.教材难度模型


      经过专家讨论和实证研究,课题组在已有模型[4]的基础?#24076;?#26368;终形成了两种教材难度模型。


      模型一:N=α1·G+α2·S+α3·X


      其中,N表示知识团的难度,G表示知识团的广度,S表示知识团的深度,X表示知识团的习题综合难度。α1、α2、α3分别表示知识团的广度、深度、习题综合难度的权重。根据高中数学课程的特点,我?#20392;?#23450;其中的权重系数分别为α1=0.40、α2=0.30、α3=0.30,难度值在0~1之间,1为最难。


      模型二:


      其中,T表示学生学习该知识团所需的总课时量。其他量同模型一。


      2.难度比较方法


      将某国知识团的广度除以各国知识点的总数,深度除以各国相应知识团的最大深度,习题综合难度除以各国相应知识团的习题综合难度最大值,?#26469;?#36827;行标准化后再代入上述模型中。在模型一中,这些量称作相对广度、相对深度、相对习题综合难度;在模型二中,这些量称作可比广度、可比深度、可比习题综合难度。


      其中,关于深度的量化,数学概念的深度划分为“白描、归纳类比、抽象定义?#27604;?#20010;水?#21073;?#25968;学命题的深度主要分为“了解,理解,应用?#27604;?#20010;水平。关于广度的量化,约定“单个知识点的广度为1,知识团的广度即知识点的总和?#20445;?#21516;?#20445;?#20026;减少误差,以教材中用特殊标记标注的概念与命题作为知识点。习题的综合难度主要从“习题性质、习题背景与知识含量?#27604;?#20010;维度,按照高中数学教育的特点确定其权重?#26469;?#20026;0.4、0.4、0.2;习题性质分为模仿、迁移与应用、探究3个级别;习题背景分为无背景、生活与公共常识背景、科学背景;知识含量分为3个级别,即1个知识点、2~3个知识点、4个及以上知识点。


      二、研究结果与?#27835;?/p>


      研究发现,就总体而言,在十个国家中,中国高中数学教材的难度较大,排在第2位(模型一)或第3位(模型二);五个知识团的相对广度排在第3位,相对深度排在第4位;相对习题综合难度排在第3位,可比广度排在第4位,可比深度排在第2位;可比习题综合难度排在第7位。具体?#27835;?#22914;下:


      (一)教材总体难度?#27835;?/p>


      “模型一”的结果如表1所示。


      从表1可以发现,如果不考虑课时因素,十国之中俄罗斯教材最难,中国、日本和美国教材难度大致相?#20445;?#28595;大利亚教材和法国教材难度大致相?#20445;?#38889;国与新加坡教材难度大致相当。


      “模型二”的结果如表2所示。


      从表2可以发现,在加入课时因素之后,十国之中中国教材难度排在第3位,属于第二层?#21361;?#20420;罗斯、澳大利亚属于第一层?#21361;?#26085;本、新加坡居末。中国教材难度大于美、法、英等国家,但难度差距并不十分显著;与亚洲其他3国(日、韩、新)相比,难度差距显著。虽然中国教材的可比广度居中,排在第4位,但与排在第2、3位的美国与澳大利亚的可比广度差距并不显著;但与亚洲其他3国相比,差距显著。中国教材的可比深度较大,排在第2位,仅次于俄罗斯,但与韩国的差距并不显著,与日本、新加坡的差距明显。虽然中国教材的可比习题综合难度靠后,排在第7位,但与前6位之间的差距并不十分显著。


      特别地,上述结论是基于五个知识团的难度的推断结果,尽管所选的五个知识团具有典型代表性,但对于其他知识团来?#21040;?#35770;是否成立,有待进一步考证。


      从图1中的十国教材难度距平值可以发现,英国、法国、韩国的所选教材难度大致相?#20445;?#25509;近均值;中国和美国教材难度大致相?#20445;?#20420;罗斯教材难度明显高于其他国家;日本和新加坡的教材难度大致相?#20445;依?#22343;值水平较远。


      对各国教材难度的成分结构进一步?#27835;?如图2所示),可以发现,教材难度类型与教材难度成分结构密切相关。例如,难度靠前的中国、俄罗斯、美国、澳大利亚的教材难度成分结构相似,难度排名居中的英国、法国、德国的教材难度成分结构相似,难度排名靠后的日本、新加坡的教材难度成分结构相似。通过调整难度成分结构可以实现调整教材整体难度的目的,这为调整教材难度提供了新视角。


      (二)知识团难度角度?#27835;?/p>


      “模型一”的结果如表3所示。


      “模型一”的结果显示,俄罗斯、法国、韩国和新加坡教材知识团难度的排名均没有出现比较靠后的情?#21361;?#35828;明所选四国教材知识团的平均难度偏大。所选中国教材的“集合”知识团难度排在第1位,“函数”知识团难度排在第7位,“立体?#36127;巍?#30693;识团难度排在第2位,“向量”知识团难度排在第4位。从而,根据“模型一”的结果,中国教材需在“集合”与“立体?#36127;巍?#39046;域做相应难度调整。


      “模型二”的结果如表4所示。


      “模型二”的结果显示,中国、俄罗斯、美国、英国教材知识团难度的排名均没有比较靠后的情?#21361;?#35828;明所选四国教材知识团的平均难度偏大。所选中国教材的“集合”知识团难度排在第2位,“函数”知识团难度排在第4位,“立体?#36127;巍?#30693;识团难度排在第4位,“向量”知识团难度排在第2位。从而,根据“模型二”的结果,中国教材需在“集合”与“向量”领域做相应难度调整。


      进一步?#27835;?#20854;中的缘由可以发现,影响教材难易程度的因素不仅包括课程内容的广度、深度、习题综合难度,而且也包括知识点的呈现方式(诸如探究?#20132;?#25509;受式)、编排侧重点等因素。例如,所选中国和俄罗斯教材知识点的呈现更偏重抽象,美国教材知识点主要通过活动加以呈现,偏隐晦,而韩国教材善于借助直观化解难度。可见,为了确保教材难易适中,除了综合平衡深度、广度、习题之外,也需要优化课?#22871;?#32455;结构(诸如恰当采取螺旋式[5]呈现方式)、优化呈现方式等等。


      三、十国高中数学教材编写特色的定性?#27835;?/p>


      在定量?#27835;?#30340;同?#20445;?#36827;行十国高中数学教材编写特色的定性诠释是必需的。


      研究发现,所选韩国、日本、俄罗斯、新加坡、法国、德国、英国、美国、澳大利亚、中国的高中数学教材版本具有诸多共性特色,体现国际普遍趋势。


      (一)章节体例设计精良,“学材”特征鲜明


      以韩国、法国为例。韩国教材通常在正文内容后,用特殊框归纳整理核心知识点,并以旁批的形式进行知识介绍与学习提示,习题紧跟知识点和例题的组合结构,旨在帮助学生及时巩固新学内容;每个单元伊始设置“学习目标”与“已学内容”?#25913;浚?#32780;在单元结束后设置“进一步思考”与“用数学?#35789;?#30028;”等扩展?#25913;俊?#27861;国教材每单元伊始,总会介绍相关的数学史知识,包括人物简介和各类小知识(社会、历史、科技等),?#24188;?#36827;行“热身练习?#20445;?#20063;?#23567;?#35838;前活动?#20445;?#20026;新知识的引入做铺垫,此外在正文中设计了单独的“理解”一栏帮助学生加深理解。尽管我国高中数学教材(包括本研究选择的人教A版)也有从“教”材逐?#38454;?#21521;“学材”的趋势,但不甚明显。所有这些努力,旨在帮助学生更好地学习新知,充分体现“学材”的特征,而这些成功的做法,恰恰是我国基础教育课程教材试图努力解决的难题。[6]


      (二)借用?#36127;?#30452;观学习概念


      以核心概念“函数”为例,教材难度排名居后的韩国和德国教材非常注重概念的直观学习,图3就是韩国教材的图形直观,德国教材注重实物直观在概念理解中的作用,强调借助制作动手材料学习数学概念。而澳大利亚教材缺乏必要的直观和学生体验,直接给出抽象的数学定义,直接导致教材难度加大。相比之下,中国相应版本的教材仍有很大的改进空间。


      (三)注重数学应用价值,充分体现数学与经济、科技和?#36136;?#30340;密切关联


      知识从生活中来,更需运用到生活中去。?#28304;耍?#32654;国教材给我们的启发最大。以“函数”内容为例,美国教材设计了“为了使蹦极项目安全有效益地运转,管理人员还需要考虑什么安全性和商业性问题?”“考虑到人口普查的巨大费用,若不用人口普查,政府将怎样预测人口的变化?”等系列问题,将数学知识与经济、科技和日常生活密切联系在一起,这样不仅可以有效体现数学与?#36136;?#30340;密切关联,而?#21307;质?#38382;题数学化、数学内容?#36136;?#21270;的过程鲜活再现,数学的应用价值凸现,更有利于提升学生数学素养的课程目标的达成。


      (四)构建系统严密的习题体系,实现习题与正文的协调统一


      教材中的习题作为正文的补充,必须与正文协调一致才能发挥其应有的作用。?#28304;耍?#27861;国、韩国、美国等国的经验值得借鉴。韩国教材配有专门的练习册,而教材编者同时是教师指导用书与练习册的编者,韩国教育科学?#38469;?#37096;也对练习册的开发?#36739;頡?#26500;?#21830;?#31995;、内容的选择与组织、排版等作了明确规定。同?#20445;?#25945;材中明确标注了相应的练习册链接,教师指导用书也明?#20998;?#20986;了教材与练习册?#35859;?#30340;具体方案。这与中国教辅无序、教辅读物泛滥形成鲜明对比。


      同?#20445;?#38889;国教材对习题进行了合理分层,分为巩固性习题、综合应用性习题、探究性习题,美国教材与之类似,将单元习题分为了“应用”、“连接”、“反思”、“扩展”、?#26696;?#20064;”五种类型,而法国教材的习题也分为难度逐级提升的“基础知识”、“学习探究”、“提升练习?#27604;?#31181;类型,确实起到了服务于正文的目的。


      (五)充分体?#20013;?#24687;?#38469;?#30340;工具价值


      与中国教材开始关注信息?#38469;?#19982;数学课程的整合相比,美国、新加坡的做法更加深刻。例如,美国教材在“因变量和自变量之间的变化关系及其代数式表示”之后,专门安排了“研究变化关系的工具”一节内容。新加坡?#20013;?#30340;高中数学课程标准[8](即2012年颁布的《数学教学大纲——H2水平》),专门设置了“图形计算器”一栏,并对图形计算器的应用提出了具体的要求,同时推广电子书包,实现从文本教材到网络教材的自然?#30001;臁?#22312;数学课程教材中,如何实?#20013;?#24687;?#38469;?#20174;?#38469;?#23618;面向学习工具的转变,成为师生学习的有效工具,值得深入研究。


      四、九国高中数学教材对完善我国高中数学课程教材的启示


      基于对十国高中数学教材的定量比较,参照针对十国高中数学教材编写特色的定性?#27835;觶?#23601;高中数学课程中的“集合”、“函数”、“立体?#36127;巍薄ⅰ?#24179;面?#36127;巍薄ⅰ?#21521;量?#36127;巍?#20116;个知识团而言,中国高中数学教材仍有诸多调试改进的空间,在修改中国高中数学课程标准之际,提出改进建议尤为重要。


      (一)两个知识团的难度需微调


      例如,“模型二”的结果表明,所选中国教材的“集合”知识团与“向量?#36127;巍?#30693;识团的难度均排在第2位,处于十国教材难度前?#23567;?#21453;思这两个领域,中国人教版教材的难度的确需要调整:就“集合”领域而言,建议中国(人教版)高中数学教材适当减少知识点的绝对数量,尤其是适当降低知识团的深度,或者增加相应课?#20445;?#20197;有效调低该领域的难度;就“向量?#36127;巍?#39046;域而言,中国(人教版)教材的相对广度和相对深度均居于第4位,经课时?#23588;?#21518;,可比难度排名上升为第2位,原因是课时量相对较少,建议适当增加相应的课时。


      (二)进一步完?#26222;?#33410;体例设计,凸显学材特征,提高可读性


      用于国际比较的中国人教版教材的基本体例为“章节标题→背景?#36947;?#25110;思考→正文→思考→正文→例题→练习?#20445;此?#31616;单的教材结构,其间却穿插了大量“思考”、“探究”、“观察”以及旁批等不固定的?#25913;浚?#26377;时也会渗透新的知识点,这无形之中加大了学习难度。此外,这些?#25913;?#25152;占篇幅较小,语言简练、相对抽象,?#26082;?#24555;速理解相对较难。


      从国际视野出发,建议中国高中数学教材人教版进一步完善教材体例设计,改善呈现方式,特别地,即使在不改变教材内容(绝对)深度的前提下,?#37096;?#20197;进一?#25945;?#39640;教材内容的可读性,进一步凸显学材特征,更应强调激发学生数学学习兴趣,保护数学学习的自信?#27169;?#21516;时体现学法指导的潜在价值,而不仅限于?#25913;?#30340;知识提示与?#35859;幼?#29992;。


      (三)数学概念呈现抽象,数学命题呈现过于?#38382;交?#20127;待优化


      数学概念、命题等是数学课程教材的核心。针对高中数学教材中的概念、命题等内容的呈?#20013;?#24335;,与其他九国教材相比,可作一定的调整。


      从外表上看,本研究所选的中国教材版本缺乏必要的直观呈现和学生体验,教材选用的背景材料大多是远离学生?#23548;?#30340;“高射炮”、“恩格尔系数”、“大气压”等。相比之下,韩国教材则从“身高和年龄的关系?#27604;?#25163;,美国教材围绕“蹦极”设计一系列的学习活动,而法国教材设计了各种“热身练习”等,澳大利亚教材设计了大量鲜活的?#36136;?#24773;?#24120;?#36825;样的引入方式皆是建立在学生已有生活经验基础之?#24076;?#26082;能有效降低学习难度,又能帮助学生建构针对概念核心特征的?#26082;?#29702;解,产生“数学就在自己的身边”的情感体验,同?#20445;?#36739;好地体现数学抽象、概括的思维过程。


      就课程教材的设计本?#35782;?#35328;,上述外在表现的核心在于课程教材设计理念(与课程目标[9]定位)的差异所致,是关注知识为本还是学生发展为本?是以事实性的结果内容呈现为核心目标,还是“习得知识、提升素养、获得智慧并举?#20445;?#27491;如朱慕菊指出的,“让学习过程更多地成为发?#27835;?#39064;、提出问题、?#27835;?#38382;题、解决问题的过程”。[10]借助直观素材、从学生?#36136;?#20986;发、帮助学生经历数学概念抽象、命题形成、规律发现等的鲜活过程,使其在获得基础知识、基本技能的理解性掌握的同?#20445;?#31215;淀学科思维的直接经验和体验,既是教育部高中数学课程标准修订研究工作的新进展,[11]也符合发达国家(特别是上述九国)高中数学教材发展的普遍趋势。


      (四)关注基本活动经验的教材呈现,适度提升教材的个性化


      “基本活动经验”作为“四基”之一,需要学生在数学学习活动中不断体验、?#24418;?#21644;积累。但所选的中国教材人教版中的“探究活动”十分?#22987;?#20165;散见于章节的枝枝节节之中,以“思考”?#25913;?#20013;的问号(并以旁注)形式出现,试图启发学生思考,有时在正文中也会出现“探究?#20445;?#20854;?#25285;?#36825;是虚假的“被探究”——“探究活动”之后直接给出结果。这种“探究”其实无法让学生获得直接的探究经验和体验,不仅所引?#36947;?#36828;离学生生活,而且无法让学生真正体会知识技能背后的基本活动经验和基本思想,无法?#24418;?#25968;学学科思维方式。


      ?#27604;唬源?#25105;们既不能盲目效仿国外,也不能?#36335;?#33258;赏,教材中的“数学活动”设计究竟关注什么?如何正确协调基础知识、基本技能与基本思想、基本活动经验之间的关系?这些问题其实与教育的本质密切相连。


      与其同?#20445;?#36866;当调整我国高中数学教科书之中面向全体学生的“必需的材料”(RequiredMaterial)、“更难的材料”(MoreDifficultMaterial),与提供给学生独立学习(研究)使用的“困难的材料”(DifficultMaterial)[12]之间的比例,更好地满足学生个性化的学习需求,是可行之路。这既是高中教育的特征使然,也是发达国家高中数学课程发展的普遍趋势(诸如“科目分层”、“按照三类课程分水平呈现具体内容”等)之所在。[13-16]


      从好的教育理念,到课程教材的具体呈现,我国的确还有很远的路要走。


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