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    十國高中數學教材的若干比較研究及啟示

    來源:UC論文網2018-08-23 09:46

    摘要:

      摘要:本文利用“教科書難度模型”,選擇中、美、日、俄等十個國家具有代表性的十套高中數學教材的交集(即文科必修內容),以知識團為基本單位,從廣度、深度和習題綜合難度三個維度進行教材難易程度的定量比較和...

      摘要:本文利用“教科書難度模型”,選擇中、美、日、俄等十個國家具有代表性的十套高中數學教材的交集(即文科必修內容),以知識團為基本單位,從廣度、深度和習題綜合難度三個維度進行教材難易程度的定量比較和定性詮釋。研究表明,中國高中數學教材難度偏難,在十國中居第二、第三的位置。同時,美、日、俄等九國高中數學教材呈現出“學材特征凸顯、習題體系系統嚴密、注重信息技術的工具價值”等編寫特色與普遍趨勢。


      關鍵詞:高中;數學;教科書;難度模型;難度;


      作者簡介:史寧中,東北師范大學數學與統計學院教授,博士生導師;


      2012年3月26日,中國新聞網轉載《人民政協報》的題為《致公黨關注基礎教育“減負”:應降低課程難度》的報道,其“現在中小學課程內容多、難度大,是造成中小學生課業負擔過重的主要原因”的觀點,得到不少家長和一些學者的響應。如何客觀描述、理性分析課程難度,既是國內迫切需要解決的問題,也備受國際學界關注。


      一、研究對象與研究思路


      (一)研究對象


      作為分流教育的開始,世界許多國家的高中數學課程充分體現出其課程內容的差異性和多樣性,[1]尤其是理科類的高中數學教材內容,各國之間的差異巨大,公共的交集很少。本研究遵循教育部中小學理科教材國際比較關于國別的整體要求,選擇中國、韓國、日本、俄羅斯、新加坡、法國、德國、英國、美國、澳大利亞十個國家高中數學教材作為比較對象;顧及到數學知識的整體性,參照十國各自的高中數學課程標準,[2]經過慎重考慮,選擇十國高中數學課程內容中交集最大的文科必修數學內容作為研究對象,這些內容在高中數學課程結構中處于基礎位置。選擇教材版本的原則是,該國現階段使用的主流教材,或者具有一定典型性、代表性的教材,可以是電子版教材,也可以是紙質版教材。


      十套教材基本信息如下:中國的人民教育出版社2007年出版的《高中數學A版》;韓國大韓教科書出版社2009年出版的《數學》;日本啟林館出版社2008年出版的《數學A》、《數學Ⅰ》、《數學Ⅱ》;俄羅斯莫斯科教育出版社2008年、2011年出版的《代數與數學分析初步》、《幾何》;新加坡華僑中學2009年出版的《數學講議》;法國彌敦·巴黎出版社(NathanParis)2004年出版的《數學2》;德國恩斯特·柯萊特出版社(ErnstKlettVerlag)2009年出版的《高中數學教材》;英國劍橋大學出版社(CambridgeUniversityPress)2007年出版的《高級數學1》、《高級數學2》;美國麥格希出版社(McGraw-HillCompanies,原譯麥格勞-希爾出版社)2008年、2009年出版的《核心數學課程(第2版)》;劍橋大學出版社(CambridgeUniversityPress)澳大利亞分社2005年出版的《澳大利亞高中數學》。


      (二)研究思路


      首先,基于“課程難度模型”[3]建立“教科書難度模型”。


      其次,基于數學知識的整體性,提出“知識團”的概念,以“知識團”為基本單位進行定量研究。


      所謂知識團(group),即知識點的結合,知識點之間的組合。數學教材中的知識點可以分為概念及概念之間的關系,即命題。因此,知識點要么是概念,要么是命題。若干個知識點構成一個知識團,知識團之間的差異應盡量大,知識團內部知識點之間的差異應盡量小。


      本研究選擇了十國文科數學內容中最基礎、最核心的三個領域“集合論”、“代數”、“幾何”中的五個知識團,即“集合”、“函數”(主要是函數基本概念和性質)、“立體幾何”、“平面幾何”、“向量幾何”。


      再次,對五個知識團的廣度、深度、習題綜合難度分別進行計算,在此基礎上,對教材難度進行定量比較分析。


      最后,分析九國教材特色,診斷所選的中國教材版本的問題所在,并有針對性地提出改進建議。


      (三)研究工具和方法


      1.教材難度模型


      經過專家討論和實證研究,課題組在已有模型[4]的基礎上,最終形成了兩種教材難度模型。


      模型一:N=α1·G+α2·S+α3·X


      其中,N表示知識團的難度,G表示知識團的廣度,S表示知識團的深度,X表示知識團的習題綜合難度。α1、α2、α3分別表示知識團的廣度、深度、習題綜合難度的權重。根據高中數學課程的特點,我們確定其中的權重系數分別為α1=0.40、α2=0.30、α3=0.30,難度值在0~1之間,1為最難。


      模型二:


      其中,T表示學生學習該知識團所需的總課時量。其他量同模型一。


      2.難度比較方法


      將某國知識團的廣度除以各國知識點的總數,深度除以各國相應知識團的最大深度,習題綜合難度除以各國相應知識團的習題綜合難度最大值,依此進行標準化后再代入上述模型中。在模型一中,這些量稱作相對廣度、相對深度、相對習題綜合難度;在模型二中,這些量稱作可比廣度、可比深度、可比習題綜合難度。


      其中,關于深度的量化,數學概念的深度劃分為“白描、歸納類比、抽象定義”三個水平,數學命題的深度主要分為“了解,理解,應用”三個水平。關于廣度的量化,約定“單個知識點的廣度為1,知識團的廣度即知識點的總和”;同時,為減少誤差,以教材中用特殊標記標注的概念與命題作為知識點。習題的綜合難度主要從“習題性質、習題背景與知識含量”三個維度,按照高中數學教育的特點確定其權重依次為0.4、0.4、0.2;習題性質分為模仿、遷移與應用、探究3個級別;習題背景分為無背景、生活與公共常識背景、科學背景;知識含量分為3個級別,即1個知識點、2~3個知識點、4個及以上知識點。


      二、研究結果與分析


      研究發現,就總體而言,在十個國家中,中國高中數學教材的難度較大,排在第2位(模型一)或第3位(模型二);五個知識團的相對廣度排在第3位,相對深度排在第4位;相對習題綜合難度排在第3位,可比廣度排在第4位,可比深度排在第2位;可比習題綜合難度排在第7位。具體分析如下:


      (一)教材總體難度分析


      “模型一”的結果如表1所示。


      從表1可以發現,如果不考慮課時因素,十國之中俄羅斯教材最難,中國、日本和美國教材難度大致相當,澳大利亞教材和法國教材難度大致相當,韓國與新加坡教材難度大致相當。


      “模型二”的結果如表2所示。


      從表2可以發現,在加入課時因素之后,十國之中中國教材難度排在第3位,屬于第二層次;俄羅斯、澳大利亞屬于第一層次,日本、新加坡居末。中國教材難度大于美、法、英等國家,但難度差距并不十分顯著;與亞洲其他3國(日、韓、新)相比,難度差距顯著。雖然中國教材的可比廣度居中,排在第4位,但與排在第2、3位的美國與澳大利亞的可比廣度差距并不顯著;但與亞洲其他3國相比,差距顯著。中國教材的可比深度較大,排在第2位,僅次于俄羅斯,但與韓國的差距并不顯著,與日本、新加坡的差距明顯。雖然中國教材的可比習題綜合難度靠后,排在第7位,但與前6位之間的差距并不十分顯著。


      特別地,上述結論是基于五個知識團的難度的推斷結果,盡管所選的五個知識團具有典型代表性,但對于其他知識團來說結論是否成立,有待進一步考證。


      從圖1中的十國教材難度距平值可以發現,英國、法國、韓國的所選教材難度大致相當,接近均值;中國和美國教材難度大致相當;俄羅斯教材難度明顯高于其他國家;日本和新加坡的教材難度大致相當,且離均值水平較遠。


      對各國教材難度的成分結構進一步分析(如圖2所示),可以發現,教材難度類型與教材難度成分結構密切相關。例如,難度靠前的中國、俄羅斯、美國、澳大利亞的教材難度成分結構相似,難度排名居中的英國、法國、德國的教材難度成分結構相似,難度排名靠后的日本、新加坡的教材難度成分結構相似。通過調整難度成分結構可以實現調整教材整體難度的目的,這為調整教材難度提供了新視角。


      (二)知識團難度角度分析


      “模型一”的結果如表3所示。


      “模型一”的結果顯示,俄羅斯、法國、韓國和新加坡教材知識團難度的排名均沒有出現比較靠后的情形,說明所選四國教材知識團的平均難度偏大。所選中國教材的“集合”知識團難度排在第1位,“函數”知識團難度排在第7位,“立體幾何”知識團難度排在第2位,“向量”知識團難度排在第4位。從而,根據“模型一”的結果,中國教材需在“集合”與“立體幾何”領域做相應難度調整。


      “模型二”的結果如表4所示。


      “模型二”的結果顯示,中國、俄羅斯、美國、英國教材知識團難度的排名均沒有比較靠后的情形,說明所選四國教材知識團的平均難度偏大。所選中國教材的“集合”知識團難度排在第2位,“函數”知識團難度排在第4位,“立體幾何”知識團難度排在第4位,“向量”知識團難度排在第2位。從而,根據“模型二”的結果,中國教材需在“集合”與“向量”領域做相應難度調整。


      進一步分析其中的緣由可以發現,影響教材難易程度的因素不僅包括課程內容的廣度、深度、習題綜合難度,而且也包括知識點的呈現方式(諸如探究式或接受式)、編排側重點等因素。例如,所選中國和俄羅斯教材知識點的呈現更偏重抽象,美國教材知識點主要通過活動加以呈現,偏隱晦,而韓國教材善于借助直觀化解難度。可見,為了確保教材難易適中,除了綜合平衡深度、廣度、習題之外,也需要優化課程組織結構(諸如恰當采取螺旋式[5]呈現方式)、優化呈現方式等等。


      三、十國高中數學教材編寫特色的定性分析


      在定量分析的同時,進行十國高中數學教材編寫特色的定性詮釋是必需的。


      研究發現,所選韓國、日本、俄羅斯、新加坡、法國、德國、英國、美國、澳大利亞、中國的高中數學教材版本具有諸多共性特色,體現國際普遍趨勢。


      (一)章節體例設計精良,“學材”特征鮮明


      以韓國、法國為例。韓國教材通常在正文內容后,用特殊框歸納整理核心知識點,并以旁批的形式進行知識介紹與學習提示,習題緊跟知識點和例題的組合結構,旨在幫助學生及時鞏固新學內容;每個單元伊始設置“學習目標”與“已學內容”欄目,而在單元結束后設置“進一步思考”與“用數學看世界”等擴展欄目。法國教材每單元伊始,總會介紹相關的數學史知識,包括人物簡介和各類小知識(社會、歷史、科技等),接著進行“熱身練習”,也叫“課前活動”,為新知識的引入做鋪墊,此外在正文中設計了單獨的“理解”一欄幫助學生加深理解。盡管我國高中數學教材(包括本研究選擇的人教A版)也有從“教”材逐步走向“學材”的趨勢,但不甚明顯。所有這些努力,旨在幫助學生更好地學習新知,充分體現“學材”的特征,而這些成功的做法,恰恰是我國基礎教育課程教材試圖努力解決的難題。[6]


      (二)借用幾何直觀學習概念


      以核心概念“函數”為例,教材難度排名居后的韓國和德國教材非常注重概念的直觀學習,圖3就是韓國教材的圖形直觀,德國教材注重實物直觀在概念理解中的作用,強調借助制作動手材料學習數學概念。而澳大利亞教材缺乏必要的直觀和學生體驗,直接給出抽象的數學定義,直接導致教材難度加大。相比之下,中國相應版本的教材仍有很大的改進空間。


      (三)注重數學應用價值,充分體現數學與經濟、科技和現實的密切關聯


      知識從生活中來,更需運用到生活中去。對此,美國教材給我們的啟發最大。以“函數”內容為例,美國教材設計了“為了使蹦極項目安全有效益地運轉,管理人員還需要考慮什么安全性和商業性問題?”“考慮到人口普查的巨大費用,若不用人口普查,政府將怎樣預測人口的變化?”等系列問題,將數學知識與經濟、科技和日常生活密切聯系在一起,這樣不僅可以有效體現數學與現實的密切關聯,而且將現實問題數學化、數學內容現實化的過程鮮活再現,數學的應用價值凸現,更有利于提升學生數學素養的課程目標的達成。


      (四)構建系統嚴密的習題體系,實現習題與正文的協調統一


      教材中的習題作為正文的補充,必須與正文協調一致才能發揮其應有的作用。對此,法國、韓國、美國等國的經驗值得借鑒。韓國教材配有專門的練習冊,而教材編者同時是教師指導用書與練習冊的編者,韓國教育科學技術部也對練習冊的開發方向、構成體系、內容的選擇與組織、排版等作了明確規定。同時,教材中明確標注了相應的練習冊鏈接,教師指導用書也明確指出了教材與練習冊銜接的具體方案。這與中國教輔無序、教輔讀物泛濫形成鮮明對比。


      同時,韓國教材對習題進行了合理分層,分為鞏固性習題、綜合應用性習題、探究性習題,美國教材與之類似,將單元習題分為了“應用”、“連接”、“反思”、“擴展”、“復習”五種類型,而法國教材的習題也分為難度逐級提升的“基礎知識”、“學習探究”、“提升練習”三種類型,確實起到了服務于正文的目的。


      (五)充分體現信息技術的工具價值


      與中國教材開始關注信息技術與數學課程的整合相比,美國、新加坡的做法更加深刻。例如,美國教材在“因變量和自變量之間的變化關系及其代數式表示”之后,專門安排了“研究變化關系的工具”一節內容。新加坡現行的高中數學課程標準[8](即2012年頒布的《數學教學大綱——H2水平》),專門設置了“圖形計算器”一欄,并對圖形計算器的應用提出了具體的要求,同時推廣電子書包,實現從文本教材到網絡教材的自然延伸。在數學課程教材中,如何實現信息技術從技術層面向學習工具的轉變,成為師生學習的有效工具,值得深入研究。


      四、九國高中數學教材對完善我國高中數學課程教材的啟示


      基于對十國高中數學教材的定量比較,參照針對十國高中數學教材編寫特色的定性分析,就高中數學課程中的“集合”、“函數”、“立體幾何”、“平面幾何”、“向量幾何”五個知識團而言,中國高中數學教材仍有諸多調試改進的空間,在修改中國高中數學課程標準之際,提出改進建議尤為重要。


      (一)兩個知識團的難度需微調


      例如,“模型二”的結果表明,所選中國教材的“集合”知識團與“向量幾何”知識團的難度均排在第2位,處于十國教材難度前列。反思這兩個領域,中國人教版教材的難度的確需要調整:就“集合”領域而言,建議中國(人教版)高中數學教材適當減少知識點的絕對數量,尤其是適當降低知識團的深度,或者增加相應課時,以有效調低該領域的難度;就“向量幾何”領域而言,中國(人教版)教材的相對廣度和相對深度均居于第4位,經課時加權后,可比難度排名上升為第2位,原因是課時量相對較少,建議適當增加相應的課時。


      (二)進一步完善章節體例設計,凸顯學材特征,提高可讀性


      用于國際比較的中國人教版教材的基本體例為“章節標題→背景實例或思考→正文→思考→正文→例題→練習”,看似簡單的教材結構,其間卻穿插了大量“思考”、“探究”、“觀察”以及旁批等不固定的欄目,有時也會滲透新的知識點,這無形之中加大了學習難度。此外,這些欄目所占篇幅較小,語言簡練、相對抽象,準確快速理解相對較難。


      從國際視野出發,建議中國高中數學教材人教版進一步完善教材體例設計,改善呈現方式,特別地,即使在不改變教材內容(絕對)深度的前提下,也可以進一步提高教材內容的可讀性,進一步凸顯學材特征,更應強調激發學生數學學習興趣,保護數學學習的自信心,同時體現學法指導的潛在價值,而不僅限于欄目的知識提示與銜接作用。


      (三)數學概念呈現抽象,數學命題呈現過于形式化,亟待優化


      數學概念、命題等是數學課程教材的核心。針對高中數學教材中的概念、命題等內容的呈現形式,與其他九國教材相比,可作一定的調整。


      從外表上看,本研究所選的中國教材版本缺乏必要的直觀呈現和學生體驗,教材選用的背景材料大多是遠離學生實際的“高射炮”、“恩格爾系數”、“大氣壓”等。相比之下,韓國教材則從“身高和年齡的關系”入手,美國教材圍繞“蹦極”設計一系列的學習活動,而法國教材設計了各種“熱身練習”等,澳大利亞教材設計了大量鮮活的現實情境,這樣的引入方式皆是建立在學生已有生活經驗基礎之上,既能有效降低學習難度,又能幫助學生建構針對概念核心特征的準確理解,產生“數學就在自己的身邊”的情感體驗,同時,較好地體現數學抽象、概括的思維過程。


      就課程教材的設計本質而言,上述外在表現的核心在于課程教材設計理念(與課程目標[9]定位)的差異所致,是關注知識為本還是學生發展為本?是以事實性的結果內容呈現為核心目標,還是“習得知識、提升素養、獲得智慧并舉”?正如朱慕菊指出的,“讓學習過程更多地成為發現問題、提出問題、分析問題、解決問題的過程”。[10]借助直觀素材、從學生現實出發、幫助學生經歷數學概念抽象、命題形成、規律發現等的鮮活過程,使其在獲得基礎知識、基本技能的理解性掌握的同時,積淀學科思維的直接經驗和體驗,既是教育部高中數學課程標準修訂研究工作的新進展,[11]也符合發達國家(特別是上述九國)高中數學教材發展的普遍趨勢。


      (四)關注基本活動經驗的教材呈現,適度提升教材的個性化


      “基本活動經驗”作為“四基”之一,需要學生在數學學習活動中不斷體驗、感悟和積累。但所選的中國教材人教版中的“探究活動”十分鮮見,僅散見于章節的枝枝節節之中,以“思考”欄目中的問號(并以旁注)形式出現,試圖啟發學生思考,有時在正文中也會出現“探究”,其實,這是虛假的“被探究”——“探究活動”之后直接給出結果。這種“探究”其實無法讓學生獲得直接的探究經驗和體驗,不僅所引實例遠離學生生活,而且無法讓學生真正體會知識技能背后的基本活動經驗和基本思想,無法感悟數學學科思維方式。


      當然,對此我們既不能盲目效仿國外,也不能孤芳自賞,教材中的“數學活動”設計究竟關注什么?如何正確協調基礎知識、基本技能與基本思想、基本活動經驗之間的關系?這些問題其實與教育的本質密切相連。


      與其同時,適當調整我國高中數學教科書之中面向全體學生的“必需的材料”(RequiredMaterial)、“更難的材料”(MoreDifficultMaterial),與提供給學生獨立學習(研究)使用的“困難的材料”(DifficultMaterial)[12]之間的比例,更好地滿足學生個性化的學習需求,是可行之路。這既是高中教育的特征使然,也是發達國家高中數學課程發展的普遍趨勢(諸如“科目分層”、“按照三類課程分水平呈現具體內容”等)之所在。[13-16]


      從好的教育理念,到課程教材的具體呈現,我國的確還有很遠的路要走。


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